Strona głównaRozmaitościArtykuły i opinieRozważania wokół stałej Archimedesa czyli liczbie π

Rozważania wokół stałej Archimedesa czyli liczbie π

Dzisiejsza data 14.03, czyli marca dzień czternasty wydaje nam się zupełnie zwyczajna. Szukając jakiegoś szczególnego wydarzenia w historii Grecji, Polski, Europy i wreszcie całego świata możemy odnaleźć wiele powodów do upamiętnienia tego dnia. Przykładowo w Polsce miała miejsce premiera znanego filmu Deszczowy żołnierz w reżyserii Wiesława Saniewskiego i było to w roku 1997. Tego dnia zmarł także amerykański fotograf greckiego pochodzenia – Chris Hondos, którego prace zachwycają do dziś. Przykładów można mnożyć bardzo wiele. A jeśli już o mnożeniu mowa, to czas wspomnieć, że 14 marca to dzień dla matematyków, którzy mają nie lada powód do świętowania. Dzisiaj jest właśnie święto znanej liczby π. Datę święta wybrano na 14 marca z powodu skojarzenia z pierwszymi cyframi rozszerzenia (rozwinięcia) dziesiętnego liczby pi, jako że data „14 marca” zapisywana jest w USA jako „3.14”. Warto zaznaczyć, że święto to jest obchodzone corocznie, głównie w amerykańskich kręgach akademickich i szkolnych. Staje się jednak bardzo popularne w polskich szkołach w ostatnich kilku latach. Ze względu na inny sposób zapisu daty w Europie, święto to nie jest zbytnio popularne na tym kontynencie. Za to 22 lipca obchodzony jest dzień aproksymacji π, według sposobu zapisu daty 22/7≈3,1428.

W historii matematyki odnaleźć można liczne przykłady mówiące o obecności tej liczby. Najstarsze próby określenia tej liczby pochodzą z Babilonu, potem przywołać można papirus Ahmesa, zwany również papirusem Rhinda, następnie liczbą tą zajęli się starożytni Egipcjanie. Szacunkowe przybliżenie liczby pi można również znaleźć w biblijnej Drugiej Księdze Kronik: „Następnie sporządził odlew okrągłego „morza” o średnicy dziesięciu łokci, wysokości pięciu łokci i o obwodzie trzydziestu łokci” (2 Krn 4,2).

fot. seriousfacts.com

Jednak za kluczową postać, kiedy mówimy o liczbie pi uznaje się Archimedesa z Syrakuzu (Ἀρχιμήδης ὁ Συρακόσιος Archimedes ho Syrakosios) . Jest on znany jako grecki filozof przyrody i matematyk, urodzony w Syrakuzach. Natomiast wykształcenie zdobył w Aleksandrii. Powszechnie jest uznawany za najwybitniejszego matematyka starożytności (i jednego z największych w dziejach). Wspominając Archimedesa nie sposób ominąć inne jego matematyczne osiągnięcia. Archimedesowi przypisuje się także autorstwo traktatu o kwadraturze odcinka paraboli. Jest także prekursorem rachunku różniczkowego i całkowego, twórcą hydrostatyki (w dziele O ciałach pływających) i statyki (w dziele O równowadze płaszczyzn). Zajmował się także astronomią i w związku z tym opisał ruch pięciu planet.

Należy jednak wyraźnie zaakcentować, dlaczego to właśnie Archimedes jest zawsze przywoływany kiedy mówimy o liczbie pi. Stało się tak za sprawą aproksymacji. Jest ona pojmowana jako proces określania rozwiązań przybliżonych na podstawie rozwiązań znanych, które są bliskie rozwiązaniom dokładnym. Metoda aproksymacji przez całe stulecia jej stosowania w starożytności i w średniowieczu doprowadziła do znacznego postępu w przybliżeniu wartości liczby π . Jeśli nieznany jest obwód koła, to w przybliżeniu można go ustalić, obliczając obwód wielokąta wpisanego w okrąg i obwód wielokąta opisanego na tym samym okręgu. Obwód koła, równy 2πr, jest zawsze dłuższy niż obwód wielokąta wpisanego, a krótszy niż obwód wielokąta opisanego na tym okręgu. Pierwszym matematykiem, który tę metodę z powodzeniem praktykował, był właśnie Archimedes. Do swoich obliczeń wykorzystał on wielokąt o 96 bokach i uzyskał w ten sposób przybliżenie sięgające dwóch miejsc po przecinku: π= 3,14

© Hayati Kayhan / Dreamstime.com

Naturalnie w ślad za Archimedesem szło bardzo wielu znanych matematyków, którzy zajmowali się dalszym rozwinięciem dziesiętnym tej liczby. Poświęcali na to wiele godzin żmudnej pracy, często popełniając błędy. Największą wiedzę dotyczącą wyznaczania i własności liczby π przynoszą czasy nowożytne. Johann Heinrich Lambert w 1767 roku udowodnił, że π jest liczbą niewymierną, czyli taką, której nie można zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb rzeczywistych. Warto także wskazać, że symbol π został wprowadzony po raz pierwszy dopiero w 1706 roku przez Williama Jonesa w książce „Synopsis Palmariorum Mathesos”. Szczegółowe zestawienie prac nad poznaniem omawianej liczby przedstawia poniższe kalendarium:

Kilka faktów historycznych o liczbie π:
• w 240 roku pne Archimedes odkrył, iż π mieści się pomiędzy 223/71 a 22/7;
• w 150 r. pne Ptolomeusz odkrył, iż π wynosi około 377/120 (lub 3,1416);
• w 480 r. ne w Chinach odkryto, iż π wynosi około 355/113 lub 3,141529…;
• w 1150 r. ne hindus Bhaskara podał wartość 3927/1250 jako dokładną wartość π;
• w 1579 r Viete użył wieloboki mające 393.216 boków do wyznaczenia prawidłowej artości liczby π do dziewiątego miejsca po przecinku;
• w 1616 r. Van Ceulen użył 262 boków w wieloboku do obliczenia liczby π do 35 miejsca po przecinku;
• w 1674 r. Leibniz podał następujący wzór: π/4 = 1 – 1/3 + 1/5 + 1/7 + …;
• w 1897 r. Ogólne Zgromadzenie stanu Indiana rozważało przyjęcie ustawy nr 246 ustalającej wartość π. Rozważaną wartością było 16 podzielone przez pierwiastek kwadratowy z 3, co równa się 9,2376…. Na szczęście, pewien profesor z Purdue był obecny w tym czasie na Kapitolu i gdy zaproponowano uchwałę, ostrzegł senatorów o pomyłce;
• w 1949 r. ENIAC (pierwszy nowoczesny komputer) w ciągu 70 godzin obliczył
• liczbę π do 2 037 miejsca po przecinku;
• w 1986 r. Supercomputer Cray-2 obliczył liczbę π do 29.360.128 miejsc po przecinku . Operacja trwała 28 godzin i przeprowadzono 12 trilionów arytmetycznych operacji;
• w 1988 r. Yasumasa Kanada z Uniwersytetu w Tokio obliczył π z dokładnością do 201.326.000 miejsc po przecinku;
• w 1997 r. π obliczono do 51.539.600.000 miejsc po przecinku;
• 4 kwietnia 1999 r. Yasumasa Kanada oraz Daisuke Takahashi z Uniwersytetu w Tokio obliczyli wartość π do 68.719.470.000 miejsca po przecinku;
• w 2002 r. profesor Yasumasa Kanada na Uniwersytecie w Tokio obliczył liczbę π z dokładnością do 1.240.000.000.000 miejsc po przecinku. Supercomputer Hitachi pracował nad tym zadaniem 400 godzin;
• w 1990 r. bracia Chudnowsky obliczyli π z dokładnością do 1.011.196.691
• miejsc po przecinku. Algorytm Chudnowsky jest szybką metodą obliczenia π.
• Użyto go do pobicia światewgo rekordu obliczania ilości miejsc po przecinku
• liczby π;
• w grudniu 2005 r. obliczono 2,7 tryliona cyfr po przecinku, a w sierpniu 2010 r. 5 trylionów cyfr po przecinku, natomiast w październiku 2011 r. obliczono 10 trylionów cyfr po przecinku.

Wiele osób zwykło mówić, że przedmioty humanistyczne i przedmioty ścisłe to dwie osobne płaszczyzny. Kto z nas nie krzyczał: „jestem humanistą” lub „jestem ścisłowcem”. Warto jednak zaznaczyć, że popularna liczba π stanowiła inspiracje dla wielu literatów. Przedstawiamy wybrane egzemplifikacje:

1. Clemens Brentano – niemiecki pisarz:

„Nigdy, o dobry Boże, nie użyczysz mi mocy spamiętania po wsze czasy potężnego, ze sobą trwale sprzężonego szeregu cyfr. Dlatego przyswoiłem sobie ludolfinę w słowach”

2. Wiesława Szymborska:

„Liczba Pi”

Po­dzi­wu god­na licz­ba Pi
trzy koma je­den czte­ry je­den.
Wszyst­kie jej dal­sze cy­fry też są po­cząt­ko­we,
pięć dzie­więć dwa po­nie­waż ni­g­dy się nie koń­czy.
Nie po­zwa­la się ob­jąć sześć pięć trzy pięć spoj­rze­niem
osiem dzie­więć ob­li­cze­niem
sie­dem dzie­więć wy­obraź­nią,
a na­wet trzy dwa trzy osiem żar­tem, czy­li po­rów­na­niem
czte­ry sześć do cze­go­kol­wiek
dwa sześć czte­ry trzy na świe­cie.
Naj­dłuż­szy ziem­ski wąż po kil­ku­na­stu me­trach się ury­wa
po­dob­nie, choć tro­chę póź­niej, czy­nią węże ba­jecz­ne.
Ko­ro­wód cyfr skła­da­ją­cych się na licz­bę Pi
nie za­trzy­mu­je się na brze­gu kart­ki,
po­tra­fi cią­gnąc się po sto­le, przez po­wie­trze,
przez mur, liść, gniaz­do pta­sie, chmu­ry, pro­sto w nie­bo,
przez całą nie­ba wzdę­tość i bez­den­ność.
O, jak krót­ki, wprost mysi, jest war­kocz ko­me­ty!
Jak wą­tły pro­mień gwiaz­dy, że za­krzy­wia się w lada prze­strze­ni!
A tu dwa trzy pięt­na­ście trzy­sta dzie­więt­na­ście
mój nu­mer te­le­fo­nu twój nu­mer ko­szu­li
rok ty­siąc dzie­więć­set sie­dem­dzie­sią­ty trze­ci szó­ste pię­tro
ilość miesz­kań­ców sześć­dzie­siąt pięć gro­szy
ob­wód w bio­drach dwa pal­ce sza­ra­da i szyfr,
w któ­rym sło­wicz­ku mój a leć, a piej
oraz upra­sza się za­cho­wać spo­kój,
a tak­że zie­mia i nie­bo prze­mi­ną,
ale nie licz­ba Pi, co to to nie,
ona wciąż swo­je nie­złe jesz­cze pięć,
nie byle ja­kie osiem,
nie­ostat­nie sie­dem,
przy­na­gla­jąc, ach, przy­na­gla­jąc gnu­śną wiecz­ność
do trwa­nia.

Nie jest matematyczną tajemnicą, że liczba π ma po przecinku bardzo wiele cyfr. Przykładowo: liczba π z dokładnością do 204 miejsc po przecinku:
π ≈ 3,141592 653589 793238 462643 383279 502884 197169 399375 105820 974944 592307 816406 286208 998628 034825 342117 067982 148086 513282 306647 093844 609550 582231 725359 408128 481117 450284 102701 938521 105559 644622 948954 930381 964428…

fot. seriousfacts.com

Kto z nas zatem nie chciał zapamiętać chociaż kilka lub kilkanaście pierwszych cyfr. Z pomocą przyszli także literaci. Można wskazać na wiele wierszyków i rymowanek, które w tym pomagają. Wystarczy nauczyć się takiej rymowanki, zapisać ją z pamięci na kartce, policzyć głoski w danym słowie i wówczas dowiemy się jakie jest rozwiniecie dziesiętne tej wspaniałej liczby. Oto kilka przykładów:

• Wiersz pozwala zapamiętać 32 cyfry składające się na liczbę pi:

Kto w mózg i głowę natłoczyć by chciał cyfer moc,
Ażeby liczenie ludolfiny trudnej spamiętać móc,
To nam zastąpić musi słówka te litery suma,
Tak one trwalej się do pamięci wszystkie wsuną.

• Limeryk (limerypinoid) Marcina Orlińskiego wykorzystuje 26 miejsc po przecinku:

Jan C. Dors z Pucka (Pomorskie)
na omyłki takie jak „Dorsz” reagował wstrząsem.
Bluzgał, zapieniał się:
„Ja już odpocząć chcę!
Błagam! Ja jestem Dors, nic nie plączcie!”

• Rymowany wiersz, który ułatwia zapamiętanie cyfr do 20 miejsca po przecinku:

Kto w mgłę i słotę wagarować ma ochotę?
Chyba ten który ogniście zakochany, odziany wytwornie
Gna do nóg Bogdanki paść kornie

Bez względu na to czy matematykę lubimy czy też nie, warto wiedzieć czym jest sławna liczba π. A jeśli lubimy łamigłówki i logiczne ćwiczenia mózgu to bez wątpienia warto poszukać ciekawych propozycji logicznych zabaw i gier, które koncentrują się właśnie wokół liczby π.

Bibliografia:

1. materiał dostępny online pod adresem: Świat matematyki – łamigłówki, zadania i zagadki logiczne, konkursy, zawody i olimpiady matematyczne, kółka i czasopisma matematyczne, rozrywki umysłowe, matematyka, szkoła, czasopismo, gazeta matematyka (swiatmatematyki.pl)
2. materiał dostępny online pod adresem: Wisława Szymborska „Liczba Pi” | Wrocławski Portal Matematyczny – Matematyka jest ciekawa
3. materiał dostępny online pod adresem: Pi – Wikipedia, wolna encyklopedia
4. materiał dostępny online pod adresem: William Jones (matematyk) – Wikipedia, wolna encyklopedia
5. materiał dostępny online pod adresem: Archimedes – Wikipedia, wolna encyklopedia

NAJNOWSZE

KUCHNIA

Informacje polonijne